Решение задачи Ю15 олимпиады Кенгуру

Уровень: Юниор (9  и 10 класс)
Условие.

Круг радиуса 4 см разделен на четыре равные части дугами окружностей радиуса 2 см, как показано на рисунке. Периметр каждой из этих частей равен:

 Варианты ответа:
А:2п, Б:4п, В:6п, Г:8п, Д:12п,

Решение Длина окружности круга равна 8п см. Значит, в каждой части на жирный участок границы приходится 2п см. Т.к. тонкие границы образованы дугами окружности радиусом 2 см, то в каждой части общая длина тонких границ составит 4п см. Итого 6п см.


Ответ: В:6п

Решение задачи про неравенства (В16)

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Пусть вещественные числа а, b, с удовлетворяют системе неравенств:

Тогда НЕВОЗМОЖНЫМ является выполнение неравенства:

Варианты ответа: А: a<c<b, Б: c<a<b, В: a=c<b, Г: a<b<c, Д: -b<-c<-a

Решение Основание первого показательного неравенства больше единицы, значит, a<b. Во тором же основание меньше единицы и соотношение между показателями будет: c<b. Выходит, b - самое большое из чисел. Так что неравенство a<b<c выполняться не может.

Ответ: Г: a<b<c.

Решение числового ребуса (Ш1)

Уровень: Малыш 3-4, Школьник (3, 4, 5 и 6 классы),

Условие. Если
++6=+++,
то какая цифра скрыта под знаком треугольника?

Варианты ответа: А:2, Б:3, В:4, Г:5, Д:6,

Решение Убрав по два треугольника из левой и правой части уравнения получим, что сумма двух треугольников равна 6. Значит, каждый из них заменяет цифру 3.

Ответ: Б:3

Решение задачи про туристов (Ю17)

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Из пункта А в пункт В и из В в А одновременно вышли два туриста. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Сколько километров останется пройти второму туристу после того, как первый завершит переход?
Варианты ответа: А:6 км, Б:8 км, В:10 км, Г:12 км, Д:15 км,

Решение
Обозначим расстояние между пунктами как 2х. Тогда за то время, пока первый турист проходит x км, второй проходит 2х-24 км. А пока первый проходит 2х-15 км, второй преодолевает х км. Т.к. отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей, а двигались они равномерно, получим пропорцию:



Отсюда:
x²=(2x-15)(2x-24)
x²=4x²-78x+360
3x²-78x+360=0

x²-26x+120=0

По теореме Виета,
x₁=20
x₂=6

Но второй корень не подходит по смыслу задачи, т.к. расстояние между пунктами должно быть более 24 км. Значит, искомое расстояние 40 км.

Теперь, зная это, составим ещё одну пропорцию, чтобы ответить на вопрос задачи:
Пока первый турист проходит х=20 км, второй проходит 2х-24=16 км.
Пока первый турист проходит 2х=40 км, второй турист пройдёт 32 км.
Значит, ему останется пройти 40-32 = 8 (км)

решение Ответ: Б:8 км

Две недели до олимпиады Кенгуру-2011

Математическая олимпиада Кенгуру-2011 в Украине состоится через две недели, 17 марта. Рекомендуем вам мобилизоваться, освежить в памяти методы решения олимпиадных задач, свойства числа 2011, формулы и  разобрать решения задач олимпиады Кенгуру прошлых лет.

Решение задачи о симметрии

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. Сколько осей симметрии имеет эта фигура?

Варианты ответа: А:0, Б:1, В:2, Г:4, Д:бесконечно много,

Решение Чтобы части этой фигуры совпали, её можно перегнуть через вертикальную или через горизонтальную оси. Таким образом, у неё 2 оси симметрии.

Ответ: В:2

Решение задачи про котов

Уровень: Малыш 3-4, Малыш-2 (2, 3 и 4 классы)

Условие. Два года назад сумма лет, прожитых котами Томом и Тони, равнялась 15. Сейчас Тому 13 лет. Через сколько лет Тони будет 9?

Варианты ответа: А:1, Б:2, В:3, Г:4, Д:5,

Решение

За 2 года сумма возрастов котов увеличилась на 4. Значит, сейчас им вместе 19 лет. Т.к. Тому 13 лет, то Тони сейчас 6 лет. А 9 лет ему исполнится через 3 года.

Ответ: В:3