Решение задачи Ю28 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет, Юниор (7, 8, 9 и 10 класс),

Условие



На рисунке угол a=7^o, а длины отрезков ОА₁, A₁А₂, А₂А₃, ... равны. Какое наибольшее количество таких отрезков (включая отрезок OA1) можно построить на этом рисунке?

Варианты ответа:

А: 10 Б:11 В: 12 Г: 13 Д: бесконечно много

Решение:


Пользуясь равенством углов при основании равнобедренного треугольника и свойством внешнего угла треугольника, находим, что углы при основания строящихся треугольников, равняются 7, 14, 21, 28 и т.д. градусов. Поскольку угол при основании не может превышать 90 градусов, и наибольшее натуральное число, не превосходящее 90, делящееся на 7, это 7*12=84, то таких треугольников может быть 12, а отрезков – 13.



Ответ:

Г: 13

Решение задачи В27 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие

Бумажную полоску сложили так, как это показано на рисунке. Найдите угол , если



Варианты ответа:
А: 140^o Б:130^o В: 120^o Г: 110^o Д: 100^o


Решение:

Совместим второе и четвёртое положения полоски. Все четыре отмеченные дугами угла будут равны. Между собой. Каждый из них будет равняться



Так что
 

Ответ: В: 120^o

Решение задачи Ю26 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)


Условие

Сколько существует трехзначных чисел, у которых вторая цифра является средним арифметическим двух других?


Варианты ответа:

А: 16 Б: 20 В: 25 Г: 36 Д: 45


Решение:

Поскольку вторая цифра числа является средним арифметическим двух других, то сумма двух других цифр равна удвоенной второй цифре. Тогда могут быть такие варианты:

Вторая цифра равна 1:

2+0=1+1=2 – два варианта чисел с единицей в середине.

Вторая цифра равна 2:

3+0=3+1=2+2=1+3=4 – четыре варианта для чисел со второй цифрой – двойкой.

Вторая цифра равна 3:

6+0=5+1=4+2=3+3=2+4=1+5=6 – 6 вариантов

Вторая цифра равна 4:

8+0=7+1=6+2=5+3=4+4=3+5=2+6=1+7=8 – 8 вариантов

Вторая цифра равна 5:

9+1=8+2=7+3=6+4=5+5=4+6=3+7=2+8=1+9 – 9 вариантов

Далее будет по 7, 5, 3, 2 и 1 варианту для случаев второй цифры, равной 6, 7, 8 и 9, соответственно.
Всего чисел, удовлетворяющих условию, будет 2+4+6+8+9+7+5+3+1=45.


Ответ: Д: 45