Решение задачи про последовательность (Ю25)

Уровень: Юниор (9  и 10 класс)

Условие. Первый, второй и третий члены последовательности равны соответственно 1, 2 и 3. Каждый последующий член последовательности, начиная с четвертого,
определяется по формуле а_n = a_n-3 + а_n-2 - а_n-1, n Є N , n > 3 . Тогда а₂₀₁₀ =

Варианты ответа:
А:-2010, Б:-2006, В:2002, Г:2009, Д:2010,

Решение
Получим несоклько членов этой последовательности:
1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, 9, -6, …
Замечаем, что последовталеьность распадается на две. Её члены с нечётными номерами равны своему номеру, а с чётными a_2n=4-2n.

Докажем это по индукции. Пyсть для всех n, меньших k a_2n=2-2n и a_2n+1=2n+1. 

Тогда a_2k+2 = a_2k-1 + a_2k - a_2k+1 = 2k-1 + 4-2k – (2k+1) = 4-(2k+2)
a_2k+3 = a_2k + a_2k+1 - a_2k+2 = 4-2k + 2k+1 – (4-(2k+2)) = 2k+3

Значит a₂₀₁₀ = 4-2010 = -2006

Ответ:Б:-2006