Решение задачи про лжецов (К26) олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. В городе Буле некоторые жители - лжецы, и они всегда врут, а все остальные всегда говорят правду. Однажды в одной комнате находилось несколько жителей этого города, и трое из них сказали следующее:
1) Нас здесь не более трех человек. Все мы - лжецы.
2) Нас здесь не более четырех человек. Не все мы лжецы.
3) Нас тут пятеро. Трое из нас лжецы.
Определите, сколько в комнате людей и сколько среди них лжецов.

Варианты ответа:
А: 3 человека, 1 лжец, Б: 4 человека, 1 лжец, В: 4 человека, 2 лжеца, Г: 5 человек, 2 лжеца, Д: 5 человек, 3 лжеца,

Решение Допустим, в комнате трое. Тогда первая фраза первого человека "Нас здесь не более трех человек" - истинна. Тогда должна быть истинной и вторая его фраза "Все мы - лжецы". Но она истинной быть не может. Значит, человек в комнате больше трёх.

Допустим, в комнате четверо. Тогда первый человек сказал неправду. Второй, соответственно, правду. А третий солгал. Значит, два лжеца уже есть (это первый и третий). А троих лжецов быть не может, поскольку третий солгал, сказав "Трое из нас лжецы". Так что ответ "4 человека, 2 лжеца" непротиворечив.

Ответ найден, но для интереса проверим, могло ли в комнате быть пятеро. В таком случае первые двое соврали. Значит, ложны их фразы "Все мы - лжецы" и "Не все мы лжецы". А т.к. это взаимоисключающие фразы, ложной из них должна быть только одна. Противоречие.

Ответ: В: 4 человека, 2 лжеца