Решение задачи про неравенства (В16)

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Пусть вещественные числа а, b, с удовлетворяют системе неравенств:

Тогда НЕВОЗМОЖНЫМ является выполнение неравенства:

Варианты ответа: А: a<c<b, Б: c<a<b, В: a=c<b, Г: a<b<c, Д: -b<-c<-a

Решение Основание первого показательного неравенства больше единицы, значит, a<b. Во тором же основание меньше единицы и соотношение между показателями будет: c<b. Выходит, b - самое большое из чисел. Так что неравенство a<b<c выполняться не может.

Ответ: Г: a<b<c.

Решение задачи про возведение в степень (В6) олимпиады Кенгуру

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Чему равно значение выражения


Варианты ответа:
А:4096
Б:
В:64
Г:
Д:

Решение


Ответ: Г:

Решение задачи про сумму квадратов (В3) математической олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Сколько существует пар (х,у) чисел, удовлетворяющих уравнению (х-3)² + (у-2)²=0?
Варианты ответа: А:1, Б:2, В:6, Г:32, Д:таких пар нет
Решение
Сумма двух квадратов равна нулю тогда, и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом x=3, y=2 - единственное решение.
Ответ: А:1

Решение задачи В30 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Пусть а - больший корень уравнения x²+x-1 = 0, тогда выражение a⁵-5a равно:
Варианты ответа:
А:-3,
Б:3,
В:, Г:, Д:0

Решение
Посокльку а яввляется корнему уравнения x²+x-1 = 0, то a² = 1-a. Значит  a⁴ = 1-2a+a² = 2-3a. a⁵-5a = a(a⁴-5) = a(-3-3a) = -3a-3a² = -3a-3+3a = -3
Ответ: А:-3.

Решение задачи В27 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие

Бумажную полоску сложили так, как это показано на рисунке. Найдите угол , если



Варианты ответа:
А: 140^o Б:130^o В: 120^o Г: 110^o Д: 100^o


Решение:

Совместим второе и четвёртое положения полоски. Все четыре отмеченные дугами угла будут равны. Между собой. Каждый из них будет равняться



Так что
 

Ответ: В: 120^o

Задача В19 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие



На рисунке изображены графики функций  и ..
Значение  равно:

Варианты ответа:

А: Б: В: Г: Д:

Решение


Проведём отрезки, как показано на рисунке:



Искомый интеграл равен площади двух круговых сегментов. А их площадь, в свою очередь, равна разности между площадью полукруга радиусом 1 и квадрата со стороной 1. Так что  

Ответ: Г:

Задача В2 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник, Юниор  (9, 10 и 11 класс)
Условие

1	2	3	4	5	б	7	8	9	10	2010
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	*

Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:
Варианты ответа:

А: 1010 Б: 1020 В: 1910 Г: 1990 Д: 2000

Решение
Можно заметить, что числа в десяти нижних ячейках на 10 больше соответствующих чисел в верхних ячейках. Значит сумма чисел в десяти нижних ячейках на 100 больше суммы чисел в десяти соответствующих чисел в верхних ячейках. Чтобы суммы по строкам были равными, вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 2010, т.е. 2010-100=1910
Ответ: В: 1910


Уровень: Школьник  (5 и 6 класс)
Условие

1	2	3	4	5	б	7	8	9	10	199
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	*

Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:

Варианты ответа:
А: 99 Б: 100 В: 209 Г: 289 Д: 299

Решение

Аналогичными рассуждениями находим, что вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 199, т.е. 99
Ответ: А: 99

Уровень: Малыш 3-4 (3 и 4 класс)

Условие

1	2	3	4	5	6	70
11	12	13	14	15	16	*

Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:

Варианты ответа:

А: 7 Б: 10 В: 17 Г: 59 Д: 70

Решение
Здесь чтобы суммы сравнялись, нужно вместо звёздочки поставить число на 60 меньшее семидесяти, т.е. 10
Ответ: Б: 10


Уровень: Малыш 2 (2 класс)
Условие

1	2	3	40
11	12	13	*

Если суммы чисел в обеих строках одинаковы, то какое число стоит сместо звёздочки?

Варианты ответа:

А: 4 Б: 10 В: 13 Г: 22 Д: 43

Решение
Аналогично предыдущим задачам, там должно стоять 40-30=10
Ответ: Б: 10

Задача В11 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие

Каким может быть количество ребер призмы?

Варианты ответа:

А: 100 Б: 200 В: 2008 Г: 2009 Д: 2010

Решение

Рассмотрим призму с n-угольником в основании. Тогда в нижнем основании будет n рёбер, ещё n рёбер – в верхнем, и ещё n рёбер будут соединять вершины нижнего и верхнего оснований. Всего 3n рёбер.

Значит, количество рёбер призмы должно делиться на 3. Из приведённых вариантов только число 2009 не делится на 3.

Ответ: Г: 2009

Задача В1 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие
График функции у = 5(х - 2)(х + 4) пересекает ось Ох в точках А и В. Найдите длину отрезка AB.

Варианты ответа:
А: 30 Б: 10 В: 6 Г: 5 Д: другой ответ

Решение

График будет пересекать ось Ох в корнях уравнения 5(х - 2)(х + 4) = 0. Это будут точки (-4; 0) и (2; 0). Расстояние между ними равно 6.

Ответ: В: 6