Решение задачи про лжецов (К26) олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. В городе Буле некоторые жители - лжецы, и они всегда врут, а все остальные всегда говорят правду. Однажды в одной комнате находилось несколько жителей этого города, и трое из них сказали следующее:
1) Нас здесь не более трех человек. Все мы - лжецы.
2) Нас здесь не более четырех человек. Не все мы лжецы.
3) Нас тут пятеро. Трое из нас лжецы.
Определите, сколько в комнате людей и сколько среди них лжецов.

Варианты ответа:
А: 3 человека, 1 лжец, Б: 4 человека, 1 лжец, В: 4 человека, 2 лжеца, Г: 5 человек, 2 лжеца, Д: 5 человек, 3 лжеца,

Решение Допустим, в комнате трое. Тогда первая фраза первого человека "Нас здесь не более трех человек" - истинна. Тогда должна быть истинной и вторая его фраза "Все мы - лжецы". Но она истинной быть не может. Значит, человек в комнате больше трёх.

Допустим, в комнате четверо. Тогда первый человек сказал неправду. Второй, соответственно, правду. А третий солгал. Значит, два лжеца уже есть (это первый и третий). А троих лжецов быть не может, поскольку третий солгал, сказав "Трое из нас лжецы". Так что ответ "4 человека, 2 лжеца" непротиворечив.

Ответ найден, но для интереса проверим, могло ли в комнате быть пятеро. В таком случае первые двое соврали. Значит, ложны их фразы "Все мы - лжецы" и "Не все мы лжецы". А т.к. это взаимоисключающие фразы, ложной из них должна быть только одна. Противоречие.

Ответ: В: 4 человека, 2 лжеца

Решение задачи Ш27 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)

Условие.
Елена, Оксана, Наталья, Петя и Вася образуют круг. По часовой стрелке в указанном порядке и в том же направлении они зачитывают считалку:
KAN-GA-ROO-OUT-GOES-YOU (на каждый слог- один ребенок). Кто оказывается под YOU - выбывает из игры, а считалка начинается сначала от следующего ребенка. Они повторяют считалку до тех пор, пока в круге не останется один ребенок. С кого нужно начать считалку, чтобы последним остался в кругу Вася?


Варианты ответа:
А:С Елены, Б:С Оксаны, В:С Натальи, Г:С Пети, Д:С Васи,

Решение

Начнём считать, к примеру, с Елены и будем отмечать, в каком порядке дети будут выбывать из круга (см. рис).

Оказывается, что в этом случае в круге останется Петя. чтобы остался Вася, стоящий следующим по часовой стрелке, начало отсчёта также надо перенести по часовой стрелке, и начать считать с Оксаны.
Ответ: Б:С Оксаны.

Решение задачи Ю16 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет, Юниор (7, 8, 9 и 10 класс)
Условие.
Бумажную полоску трижды перегнули пополам, а затем полностью развернули, получив на ленте семь сгибов вверх или вниз. Какое из предложенных изображений ленты нельзя получить таким способом?
Варианты ответа:

Решение:
Каждой впадине должна быть симметричная ей относительно центра ложбина. Здесь все полоски проходят по такому критерию, и каждую можно согнуть один раз. Но и у согнутой полоске должно быть такое же свойство, чтобы её можно было согнуть снова. А четвёртая полоска этому требованию не удовлетворяет: у неё и на первом, и на третьем местах по впадине.
Ответ: Г.

Задача Ю20 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Юниор, Школьник (5, 6, 9 и 10 класс)

Условие
У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 6 или 8 ног, - всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". Какого цвета осьминог, сказавший правду?

Варианты ответа:

А: красный Б: синий В: зеленый Г: желтый Д: ни один осьминог не сказал правду

Решение

Поскольку все реплики были различными, солгали 3 или 4 осьминога. Если бы соврали четверо, то у них должно было быть 7х4=28 ног. Но в таком случае фраза "Вместе у нас 28 ног" была бы правдой. Противоречие.
Значит, соврали трое, а один сказал правду. Тогда у четверых осьминогов могло быть или 3х7+6=27 или 3х7+8=29 ног. Поэтому правдой была фраза зелёного "Вместе у нас 27 ног"

Ответ: В: зеленый

Условия задач математической олимпиады Кенгуру прошлых лет

Задачи 95-100

Задача 95. Выпускник, 3й уровень, 2009 год

Ордината вершины параболы y=x²+bx+c равна -7 Сколько целых чисел может находиться между корнями уравнения x²+bx+с=0?

А:6 или 7; Б: 4 или 5; В: 5 или 6; Г: только 5; Д: только 6;

Задача 96. Юниор, 3й уровень, 2008 год

Кенгуру прыгает только вперёд на 1 или на 3 метра. Он хочет преодолеть ровно 10 метров. Сколькими способами он может это сделать?

А: 28; Б: 34; В: 35; Г: 55; Д: 56;

Задача 97. Кадет, 3й уровень, 2007 год

Дана числовая последовательность такая, что a₁=1, a₂=2, a₃=3, a_n+3= a_n+ a_n+1– a_n+2. Найдите a₂₀₀₇

А: -2006; Б: -2004; В: -2002; Г: 2008; Д: 2007;

Задача 98. Школьник, 3й уровень, 2007 год

Пять целых чисел написали по кругу так, что сумма никаких двух или трёх расположенных подряд не делится на 3. Сколько среди этих пяти чисел таких, которые делятся на 3?

А: 0; Б: 1; В: 2; Г: 3; Д: невозможно определить;

Задача 99. Малыш-3,4 классы, 3й уровень, 2008 год

Есть 5 коробок с карточками с буквами B, R, A, V, O.

В первой лежат B, V

Во второй лежат B, A, V, R

В третьей лежат A, B

В четвёртой лежит V

В пятой лежат B, R, A, V, O

Петя вытащил из коробок карточки так, чтобы в каждой коробке осталось по одной карточке и в разных коробках остались карточки с разными буквами. Какая буква останется во второй коробке?

А: B; Б: R; В: A; Г: V; Д: O;

Задача 100. Малыш-2 класс, 3й уровень, 2008 год

Маша подарила маме, бабушке, тёте и двум сёстрам по букету цветов. Цветы для сетсёр и тёти были одного цвета. Известно, что бабушке она подарила не розы. Какой из этих букетов получила мама?

А: Жёлтые тюльпаны; Б: Розовые розы; В: Красные гвоздики; Г: Жёлтые розы; Д: Жёлтые гвоздики;

Решения задач математической олимпиады Кенгуру и ответы

Участникам олимпиады Кенгуру 2010 желаем удачи на конкурсе!