Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. На каждый день рождения Оксана получает в подарок столько цветов, сколько лет ей исполнилось. Эти цветы она засушивают и сохраняют в гербарии. Сейчас у Оксаны всего 120 цветов. Сколько ей лет?
Варианты ответа: А:10, Б:12, В:14, Г:15, Д:20,
Решение
Количество цветов представляет собой некоторое треугольное число. Значит, удвоенное их количество является произведением двух последовательных натуральных чисел, первое из которых равно возрасту Оксаны. 240 = 15х16, значит, ей 15 лет.
Ответ: Г:15
Показаны сообщения с ярлыком целые числа. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком целые числа. Показать все сообщения
понедельник, 7 февраля 2011 г.
четверг, 13 января 2011 г.
Решение задачи о трех натуральных числах (Ю4)
Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Произведение трех натуральных чисел равно 140. Если наибольшее из них в 7 раз больше наименьшего, то сумма этих трех чисел равна:
Варианты ответа:
А:19, Б:21, В:28, Г:33, Д:43,
Решение
Число 140 раскладывается на множители так: 140=2*2*5*7. Т.к. при представлении в виде трёх множителей наибольший из них в 7 раз меньше наименьшего, то искомое представление таково: 140=2*5=14. Тогда сумма множителей равна 2+5+14=21
Ответ: Б:21.
Условие. Произведение трех натуральных чисел равно 140. Если наибольшее из них в 7 раз больше наименьшего, то сумма этих трех чисел равна:
Варианты ответа:
А:19, Б:21, В:28, Г:33, Д:43,
Решение
Число 140 раскладывается на множители так: 140=2*2*5*7. Т.к. при представлении в виде трёх множителей наибольший из них в 7 раз меньше наименьшего, то искомое представление таково: 140=2*5=14. Тогда сумма множителей равна 2+5+14=21
Ответ: Б:21.
воскресенье, 28 ноября 2010 г.
Решение задачи про число 777 (Ш13)
Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие. На уроке математики Тарас записал некоторое число. Затем он разделил его на 7 и прибавил 7, а полученный результат умножил на 7. В результате получил 777. Какое число Тарас записал в самом начале?
Варианты ответа: А:7, Б:111, В:567, Г:722, Д:728
Решение
Решаем задачу с конца. Перед умножением было число 777/7=111, перед прибавлением семёрки - число 111-7=104 и перед делением на 7: 104/7=728 Ответ: Д:728
Условие. На уроке математики Тарас записал некоторое число. Затем он разделил его на 7 и прибавил 7, а полученный результат умножил на 7. В результате получил 777. Какое число Тарас записал в самом начале?
Варианты ответа: А:7, Б:111, В:567, Г:722, Д:728
Решение
Решаем задачу с конца. Перед умножением было число 777/7=111, перед прибавлением семёрки - число 111-7=104 и перед делением на 7: 104/7=728 Ответ: Д:728
пятница, 22 октября 2010 г.
Решение задачи про степени (Ю23)
Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Для скольких натуральных чисел n от 1 до 100 включительно число nn является квадратом натурального числа?
Варианты ответа: А:5, Б:15, В:50, Г:54, Д:55,
Решение Во-первых, квадратом nn будет для чётного n. Таких чисел от 1 до 100 будет 50. Во-вторых, для нечётного n, являющегося квадратом. Таких n будет 5: 1, 9, 25, 49, 81. Итого 55 вариантов.
Ответ: Д:55
Аналогичная, но более сложная задача сейчас сдерживает наступление на Хребет натуральных чисел в игре Математические маневры.
Условие. Для скольких натуральных чисел n от 1 до 100 включительно число nn является квадратом натурального числа?
Варианты ответа: А:5, Б:15, В:50, Г:54, Д:55,
Решение Во-первых, квадратом nn будет для чётного n. Таких чисел от 1 до 100 будет 50. Во-вторых, для нечётного n, являющегося квадратом. Таких n будет 5: 1, 9, 25, 49, 81. Итого 55 вариантов.
Ответ: Д:55
Аналогичная, но более сложная задача сейчас сдерживает наступление на Хребет натуральных чисел в игре Математические маневры.
вторник, 14 сентября 2010 г.
Решение задачи К28 олимпиады Кенгуру 2010
Уровень: Кадет, Юниор (7, 8, 9 и 10 классы)
Условие.
На рисунке нужно пройти от круга А до круга В, двигаясь по стрелкам вверх или вправо. Для каждого пути вычисляется сумма всех чисел в кругах, через которые он проходит. Сколько различных сумм можно получить?
Варианты ответа:
А:1, Б:2, В:3, Г:4, Д:5,
Решение Применим к кругам с цифрами шахматную раскраску. Тогда все круги с двойками будут белого цвета, а с единицами и тройкой - чёрного. Путь из А в В должен пройти через 2 белые и 3 чёрные клетки. Таким образом, сумма чисел на пути может быть или 1+2+3+2+1 или 1+2+1+2+1 - итого всего 2 разных значения.
Ответ: Б:2.
Условие.
На рисунке нужно пройти от круга А до круга В, двигаясь по стрелкам вверх или вправо. Для каждого пути вычисляется сумма всех чисел в кругах, через которые он проходит. Сколько различных сумм можно получить?
Варианты ответа:
А:1, Б:2, В:3, Г:4, Д:5,
Решение Применим к кругам с цифрами шахматную раскраску. Тогда все круги с двойками будут белого цвета, а с единицами и тройкой - чёрного. Путь из А в В должен пройти через 2 белые и 3 чёрные клетки. Таким образом, сумма чисел на пути может быть или 1+2+3+2+1 или 1+2+1+2+1 - итого всего 2 разных значения.
Ответ: Б:2.
пятница, 28 мая 2010 г.
Решение задачи К25 олимпиады Кенгуру 2010
Уровень: Кадет (7 и 8 класс)
Условие
На доске выписаны натуральные числа от 1 до 10. Ваня вытирает любые два из этих чисел, а вместо них записывает их сумму, уменьшенную на единицу. Эту процедуру мальчик повторяет, пока на доске не останется только одно число. Какое?
Варианты ответа:
А: меньшее, чем 11 Б: 11 В: 46 Г: большее, чем 46 Д: другой ответ
Решение:
C каждой такой операцией сумма всех чисел на доске уменьшается на единицу. Вначале сумма всех чисел на доске равна 55. После девяти сложений она составит 46.
Ответ: В: 46
суббота, 22 мая 2010 г.
Задача К21 олимпиады по математике Кенгуру 2010, решение и ответ
Уровень: Кадет (7 и 8 класс)
Условие
На рисунке изображены девять областей, ограниченных дугами окружностей. В каждую область в каком-то порядке записано по одному числу от 1 до 9 (каждое число по одному разу) так, что сумма чисел внутри каждого круга равна 11. Какое число записано в область, отмеченную знаком вопроса?
Варианты ответа:
А: 5 Б: 6 В: 7 Г: 8 Д: 9
Решение:
Число 11 можно представить в виде трёх разных слагаемых от 1 до 9 девятью способами.
11=9+2=8+3=8+2+1=7+4=7+3+1=6+5=6+4+1=6+3+2=5+4+2
Девятка входит только в одну сумму, значит, уже можно определить положение девятки и двойки.
Сумма цифр, лежащих в двух нижних кругах, равна 22. Т.к. сумма всех цифр равна 45, то сумма крайней левой, центральной и крайней правой цифр равна 45-22=23. Значит, сумма левой и центральной цифр равна 23-9=14.
Получается, на месте знака вопроса стоит или 6 или 8. Но единственная сумма из трёх слагаемых, куда входит восьмёрка – это 1+2+8, а место для двойки занято. Поэтому восьмёрка – крайне правая цифра, и на месте знака вопроса стоит цифра 6.
Ответ: Б: 6
Условие
На рисунке изображены девять областей, ограниченных дугами окружностей. В каждую область в каком-то порядке записано по одному числу от 1 до 9 (каждое число по одному разу) так, что сумма чисел внутри каждого круга равна 11. Какое число записано в область, отмеченную знаком вопроса?
Варианты ответа:
А: 5 Б: 6 В: 7 Г: 8 Д: 9
Решение:
Число 11 можно представить в виде трёх разных слагаемых от 1 до 9 девятью способами.
11=9+2=8+3=8+2+1=7+4=7+3+1=6+5=6+4+1=6+3+2=5+4+2
Девятка входит только в одну сумму, значит, уже можно определить положение девятки и двойки.
Сумма цифр, лежащих в двух нижних кругах, равна 22. Т.к. сумма всех цифр равна 45, то сумма крайней левой, центральной и крайней правой цифр равна 45-22=23. Значит, сумма левой и центральной цифр равна 23-9=14.
Получается, на месте знака вопроса стоит или 6 или 8. Но единственная сумма из трёх слагаемых, куда входит восьмёрка – это 1+2+8, а место для двойки занято. Поэтому восьмёрка – крайне правая цифра, и на месте знака вопроса стоит цифра 6.
Ответ: Б: 6
четверг, 6 мая 2010 г.
Задача В2 олимпиады по математике Кенгуру 2010
Уровень: Выпускник, Юниор (9, 10 и 11 класс)
Условие
Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:
Варианты ответа:
А: 1010 Б: 1020 В: 1910 Г: 1990 Д: 2000
Решение
Можно заметить, что числа в десяти нижних ячейках на 10 больше соответствующих чисел в верхних ячейках. Значит сумма чисел в десяти нижних ячейках на 100 больше суммы чисел в десяти соответствующих чисел в верхних ячейках. Чтобы суммы по строкам были равными, вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 2010, т.е. 2010-100=1910
Ответ: В: 1910
Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие
Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:
Варианты ответа:
А: 99 Б: 100 В: 209 Г: 289 Д: 299
Решение
Аналогичными рассуждениями находим, что вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 199, т.е. 99
Ответ: А: 99
Уровень: Малыш 3-4 (3 и 4 класс)
Условие
Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:
Варианты ответа:
А: 7 Б: 10 В: 17 Г: 59 Д: 70
Решение
Здесь чтобы суммы сравнялись, нужно вместо звёздочки поставить число на 60 меньшее семидесяти, т.е. 10
Ответ: Б: 10
Уровень: Малыш 2 (2 класс)
Условие
Если суммы чисел в обеих строках одинаковы, то какое число стоит сместо звёздочки?
Варианты ответа:
А: 4 Б: 10 В: 13 Г: 22 Д: 43
Решение
Аналогично предыдущим задачам, там должно стоять 40-30=10
Ответ: Б: 10
Условие
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | б | 7 | 8 | 9 | 10 | 2010 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | * |
Варианты ответа:
А: 1010 Б: 1020 В: 1910 Г: 1990 Д: 2000
Решение
Можно заметить, что числа в десяти нижних ячейках на 10 больше соответствующих чисел в верхних ячейках. Значит сумма чисел в десяти нижних ячейках на 100 больше суммы чисел в десяти соответствующих чисел в верхних ячейках. Чтобы суммы по строкам были равными, вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 2010, т.е. 2010-100=1910
Ответ: В: 1910
Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | б | 7 | 8 | 9 | 10 | 199 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | * |
Варианты ответа:
А: 99 Б: 100 В: 209 Г: 289 Д: 299
Решение
Аналогичными рассуждениями находим, что вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 199, т.е. 99
Ответ: А: 99
Уровень: Малыш 3-4 (3 и 4 класс)
Условие
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 70 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | * |
Варианты ответа:
А: 7 Б: 10 В: 17 Г: 59 Д: 70
Решение
Здесь чтобы суммы сравнялись, нужно вместо звёздочки поставить число на 60 меньшее семидесяти, т.е. 10
Ответ: Б: 10
Уровень: Малыш 2 (2 класс)
Условие
| 1 | 2 | 3 | 40 |
| 11 | 12 | 13 | * |
Варианты ответа:
А: 4 Б: 10 В: 13 Г: 22 Д: 43
Решение
Аналогично предыдущим задачам, там должно стоять 40-30=10
Ответ: Б: 10
пятница, 30 апреля 2010 г.
Задача Ш14 олимпиады по математике Кенгуру 2010
Уровень: Школьник, Малыш 3-4 (3, 4, 5 и 6 класс)
Условие
Числа 1, 4, 7, 10 и 13 нужно записать в ячейки этой фигуры так, чтобы сумма чисел в строке равнялась сумме чисел в столбце. Чему равна наибольшая такая сумма?
Варианты ответа:
А: 18 Б: 20 В: 21 Г: 22 Д: 24
Решение
Нужно среди данных чисел выбрать две пары, дающие равные суммы. Тогда они запишутся в крайние ячейки, а в центральную попадёт оставшееся число. Из трёх возможных вариантов наибольшую сумму, равную 24 даст такое расположение:
Ответ: Д: 24
Уровень: Малыш 2 (2 класс)
Условие
Числа 1, 4, 10 и 13 нужно записать в ячейки этой фигуры так, чтобы сумма чисел в строке равнялась сумме чисел в столбце. Чему равна такая сумма?
Варианты ответа:
А: 5 Б: 11 В: 15 Г: 21 Д: 23
Решение
Числа 1, 4, 10 и 13 можно разбить на пары 1+13=4+10. Числа из этих пар нужно будет записать в противоположные ячейки. Тогда суммы в строке и столбце будут равны 1+13+7=21.
Ответ: Г: 21
Условие
Числа 1, 4, 7, 10 и 13 нужно записать в ячейки этой фигуры так, чтобы сумма чисел в строке равнялась сумме чисел в столбце. Чему равна наибольшая такая сумма?
Варианты ответа:
А: 18 Б: 20 В: 21 Г: 22 Д: 24
Решение
Нужно среди данных чисел выбрать две пары, дающие равные суммы. Тогда они запишутся в крайние ячейки, а в центральную попадёт оставшееся число. Из трёх возможных вариантов наибольшую сумму, равную 24 даст такое расположение:
Ответ: Д: 24
Уровень: Малыш 2 (2 класс)
Условие
Числа 1, 4, 10 и 13 нужно записать в ячейки этой фигуры так, чтобы сумма чисел в строке равнялась сумме чисел в столбце. Чему равна такая сумма?
Варианты ответа:
А: 5 Б: 11 В: 15 Г: 21 Д: 23
Решение
Числа 1, 4, 10 и 13 можно разбить на пары 1+13=4+10. Числа из этих пар нужно будет записать в противоположные ячейки. Тогда суммы в строке и столбце будут равны 1+13+7=21.
Ответ: Г: 21
понедельник, 19 апреля 2010 г.
Задача К9 олимпиады по математике Кенгуру 2010
Уровень: Кадет (7 и 8 класс)
Условие
Наименьшее двузначное число среди предложенных в ответах, которое нельзя представить в виде суммы трех различных однозначных чисел, равно:
Варианты ответа:
А: 10 Б: 15 В: 23 Г: 25 Д: 28
Решение
Имея три разных однозначных числа, можно получить сумму не более 9+8+7 = 24. Значит число 25 – наименьшее из вариантов, которые представить таким образом невозможно.
Ответ: Г: 25
Условие
Наименьшее двузначное число среди предложенных в ответах, которое нельзя представить в виде суммы трех различных однозначных чисел, равно:
Варианты ответа:
А: 10 Б: 15 В: 23 Г: 25 Д: 28
Решение
Имея три разных однозначных числа, можно получить сумму не более 9+8+7 = 24. Значит число 25 – наименьшее из вариантов, которые представить таким образом невозможно.
Ответ: Г: 25
Подписаться на:
Сообщения (Atom)