Решение задачи Ю15 олимпиады Кенгуру

Уровень: Юниор (9  и 10 класс)
Условие.

Круг радиуса 4 см разделен на четыре равные части дугами окружностей радиуса 2 см, как показано на рисунке. Периметр каждой из этих частей равен:

 Варианты ответа:
А:2п, Б:4п, В:6п, Г:8п, Д:12п,

Решение Длина окружности круга равна 8п см. Значит, в каждой части на жирный участок границы приходится 2п см. Т.к. тонкие границы образованы дугами окружности радиусом 2 см, то в каждой части общая длина тонких границ составит 4п см. Итого 6п см.


Ответ: В:6п

Решение задачи о симметрии

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. Сколько осей симметрии имеет эта фигура?

Варианты ответа: А:0, Б:1, В:2, Г:4, Д:бесконечно много,

Решение Чтобы части этой фигуры совпали, её можно перегнуть через вертикальную или через горизонтальную оси. Таким образом, у неё 2 оси симметрии.

Ответ: В:2

Решение задачи про квадрат (Ш19) олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие.

Вычислите площадь затемненной части квадрата


Варианты ответа: А:8 см², Б:12 см², В:18 см², Г:24 см², Д:36 см²

Решение
Разобьём этот квадрат диагональю, являющейся осью симметрии затемнённой фигуры. Тогда фигура разобьётся на два треугольника с основаниями 2 см, и высотами 6 см. Площадь одного такого треугольника равна 6 см², а всей фигуры 12 см²

Ответ: Б:12 см².

Решение задачи Ю28 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет, Юниор (7, 8, 9 и 10 класс),

Условие



На рисунке угол a=7^o, а длины отрезков ОА₁, A₁А₂, А₂А₃, ... равны. Какое наибольшее количество таких отрезков (включая отрезок OA1) можно построить на этом рисунке?

Варианты ответа:

А: 10 Б:11 В: 12 Г: 13 Д: бесконечно много

Решение:


Пользуясь равенством углов при основании равнобедренного треугольника и свойством внешнего угла треугольника, находим, что углы при основания строящихся треугольников, равняются 7, 14, 21, 28 и т.д. градусов. Поскольку угол при основании не может превышать 90 градусов, и наибольшее натуральное число, не превосходящее 90, делящееся на 7, это 7*12=84, то таких треугольников может быть 12, а отрезков – 13.



Ответ:

Г: 13

Решение задачи В27 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие

Бумажную полоску сложили так, как это показано на рисунке. Найдите угол , если



Варианты ответа:
А: 140^o Б:130^o В: 120^o Г: 110^o Д: 100^o


Решение:

Совместим второе и четвёртое положения полоски. Все четыре отмеченные дугами угла будут равны. Между собой. Каждый из них будет равняться



Так что
 

Ответ: В: 120^o

Задача К17 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Кадет  (7 и 8 класс)

Условие



На рисунке изображен прямоугольник ABCD и квадрат PQRS. Площадь затемнённой фигуры равна половине площади прямоугольника ABCD. Тогда длина отрезка РХ равна:

Варианты ответа:
А: 1 Б: 1,5 В:2 Г: 2,5 Д:4

Решение

Площадь прямоугольника ABCD равна 60. Значит площадь прямоугольника SXYR должна равняться 30. Поскольку сторона SR = 6, то XS=5 и PX = PS-XS=1.
Ответ: А: 1

Задача Ю10 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)

Условие



Пусть АВСЕ - квадрат, ВСР и СОЕ - равносторонние треугольники (см. рис). Если АВ = 1, то РО =

Варианты ответа:

А: Б: В: Г: Д:

Решение

Т.к. треугольники ВСР и СОЕ – равносторонние, то углы FCB и ECD равны по 60 градусов. Тогда . А .
Выходит, в равнобедренном треугольнике DCF угол при вершине – прямой. Значит

Ответ: А:

Условия задач математической олимпиады Кенгуру: тригонометрия, неравенства, геометрия

Задача 83. Выпускник, 3й уровень, 2009 год

Каково максимальное значение выражения
sin a cos b + sin b cos c + sin c cos d + sin d cos a
для действительных a, b, c, d?

А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д: 8;

Задача 84. Юниор, 3й уровень, 2008 год

Известно, что х и у  - положительные действительные числа, и только одно из приведённых в ответах утверждений истинное. Какое?

А: x² > 2y²; Б: x > 2y; В: x > y; Г: x² > y²; Д: x > y²;

Задача 85. Кадет, 3й уровень, 2008 год

Некоторое количество прямых изобразили на бумаге так, что между ними есть углы величиной 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°. Найдите наименьшее количество прямых, для которых такое возможно.

А: 4; Б: 5; В: 6; Г: 7; Д: 8;

Задача 86. Школьник, 3й уровень, 2009 год

В стране Туфляндии у каждого жителя правая нога на один или на два размера больше левой. К сожалению, в магазине продаются пары обуви только одинакового размера. Чтобы сэкономить деньги, несколько друзей пошли в магазин и каждый из них купил одну пару обуви. Когда они обменялись обувью, один ботинок 36 размера и один ботинок 45 размера оказались лишними. Какое наименьшее количество человек могло быть в этой группе?

А: 5; Б: 6; В: 7; Г: 8; Д: 9;

Задача 87. Малыш-3,4 классы, 3й уровень, 2009 год

На клумбе расцвели цветы: белый, красный, синий и жёлтый. Пчела Майя подлетает к каждом цветку всего 1 раз. Сначала она летит к красному цветку, а затем – к остальным. Майя не может лететь с жёлтого цветка сразу на белый. Сколькими способами пчела Майя может посетить все 4 цветка?

А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 6;

Задача 88. Малыш-2 класс, 3й уровень, 2008 год

Петя прибавляет 2, Назар отнимает 1, а Дима удваивает число. Каждый мальчик выполняет своё действие только один раз. В каком порядке им нужно выполнять эити действия, чтобы из 3 получить 9?

А: Дима, Петя, Назар;

Б: Петя, Дима, Назар;

В: Дима, Назар, Петя;

Г: Назар, Дима, Петя;

Д: Петя, Назар, Дима;

Решения задач математической олимпиады Кенгуру и ответы