Задача К13 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие

Кате нужно 18 минут, чтобы из трех коротких цепочек составить одну длинную. Для этого она использует дополнительные кольца. Сколько времени нужно девочке для того, чтобы составить цепочку из шести коротких?

Варианты ответа:

А: 27 мин Б: 30 мин В: 36 мин Г: 45 мин Д: 60 мин

Решение

Чтобы из трех коротких цепочек составить одну длинную, нужно выполнить два соединения. Значит на одно соединение Катя тратит 9 минут. Чтобы составить цепочку из шести коротких, нужно выполнить пять соединений, это займёт 45 минут.

Ответ: Г: 45 мин

Задача Ю12 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)

Условие

Катя едет на каникулы в город Верону и планирует хоть раз пройти по каждому из пяти крупнейших мостов через реку Адидже. Девушка начинает свою прогулку от трамвайной остановки, к которой должна вернуться, пройдя по каждому из выбранных мостов и только по ним. Во время своей прогулки Катя перешла через реку n раз. Чему может равняться n?

Варианты ответа:

А: 3 Б: 4 В: 5 Г: 6 Д: 7

Решение

Т.к. мостов 5, и по каждому нужно пройти хотя бы раз, то . Но чтобы после n переходов через реку остаться на той же стороне, откуда началась прогулка, n должно быть чётным. Из вариантов ответа этим двум условиям удовлетворяет только число 6

Ответ: Г: 6

Задача В11 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие

Каким может быть количество ребер призмы?

Варианты ответа:

А: 100 Б: 200 В: 2008 Г: 2009 Д: 2010

Решение

Рассмотрим призму с n-угольником в основании. Тогда в нижнем основании будет n рёбер, ещё n рёбер – в верхнем, и ещё n рёбер будут соединять вершины нижнего и верхнего оснований. Всего 3n рёбер.

Значит, количество рёбер призмы должно делиться на 3. Из приведённых вариантов только число 2009 не делится на 3.

Ответ: Г: 2009

Задача Ю10 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)

Условие



Пусть АВСЕ - квадрат, ВСР и СОЕ - равносторонние треугольники (см. рис). Если АВ = 1, то РО =

Варианты ответа:

А: Б: В: Г: Д:

Решение

Т.к. треугольники ВСР и СОЕ – равносторонние, то углы FCB и ECD равны по 60 градусов. Тогда . А .
Выходит, в равнобедренном треугольнике DCF угол при вершине – прямой. Значит

Ответ: А:

Задача К9 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Кадет  (7 и 8 класс)

Условие
Наименьшее двузначное число среди предложенных в ответах, которое нельзя представить в виде суммы трех различных однозначных чисел, равно:

Варианты ответа:
А: 10 Б: 15 В: 23 Г: 25 Д: 28

Решение

Имея три разных однозначных числа, можно получить сумму не более 9+8+7 = 24. Значит число 25 – наименьшее из вариантов, которые представить таким образом невозможно.


Ответ: Г: 25

Задача Ш8 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Школьник, Малыш 3-4  (3, 4, 5 и 6 класс)

Условие



На канате, который с обоих концов держат Андрей и Рома, завязан 21 узел. Ребята начинают считать узлы, двигаясь навстречу друг другу. Они встретились на узле, который Андрей насчитал десятым. Каким по счету был этот узел для Ромы?

Варианты ответа:

А: 15 Б: 14 В: 13 Г: 12 Д: 10

Решение

Первый узел для Андрея будет двадцать первым для Ромы. Второй узел для Андрея будет двадцатым узлом для Ромы и т.д. Замечаем закономерность: сумма номеров узлов для Андрея и для Ромы всегда равна 22. Значит 10й узел для Андрея будет 12м для Ромы.

Ответ: Г: 12

Задача М34-7 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Малыш 3-4, Малыш 2 (2, 3 и 4 класс)
Условие


В школьной столовой борщ отдельно стоит 2 гривны, картошка с мясом - 4 гривны, десерт - 3 гривны. «Специальное меню», в которое входит набор «борщ, картошка с мясом, десерт», стоит 7 гривен. Сколько Ты сможешь сэкономить, заказав «специальное меню» вместо трех отдельных блюд?
Варианты ответа:

А: ничего Б: 1 грн. В: 2 грн. Г: 3 грн. Д: 4 грн.

Решение

За борщ, картошку с мясом и десерт по отдельности пришлось бы заплатить 2+4+3 = 9 гривен. Вместе же мы получим их за 7 гривен. Экономия 9-7 = 2 гривны
Ответ: В: 2 грн.