Решение задачи К25 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет (7  и 8 класс)

Условие

На доске выписаны натуральные числа от 1 до 10. Ваня вытирает любые два из этих чисел, а вместо них записывает их сумму, уменьшенную на единицу. Эту процедуру мальчик повторяет, пока на доске не останется только одно число. Какое?

Варианты ответа:

А: меньшее, чем 11 Б: 11 В: 46 Г: большее, чем 46 Д: другой ответ

Решение:

C каждой такой операцией сумма всех чисел на доске уменьшается на единицу. Вначале сумма всех чисел на доске равна 55. После девяти сложений она составит 46.

Ответ: В: 46

Награждение победителей в школе№17, г.Кировоград

Благодарим за фотографии Сороку Светлану Николаевну!

Награждение победителей в лицее №25, Кировоград

Решение задачи Ш24 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)

Условие

Иван, написав двузначное число, приписывает к нему справа сумму его цифр. Например, 12 —> 123, или 29 —> 2911. Затем он повторяет эту операцию для двух последних цифр полученного числа и т. д. Например, 12 —> 123 —> 1235 —> 12358 —> 1235813 —> и т.д. Если Иван начнет с числа 31, то какой будет 2010-я цифра?
Варианты ответа:

А: 1 Б: 4 В: 5 Г: 8 Д: 9

Решение:

Сделаем несколько шагов

31->314->3145->31459->3145914->31459145->314591459

Уже можно видеть, что в получающемся числе будет повторяться группа цифр (1459). Т.к. период начинается после первой цифры, а число 2009=2010-1 даёт остаток 1 при делении на 4, то 2010 цифрой будет первая цифра периода, т.е. единица.
Ответ: А: 1
P.S. Интересным развитием этой задачи было бы нахождения такого двузначного числа, которое дало бы при выполнении указанной операции период наибольшей длины.

Решение задачи Ш22 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)

Условие
Сергей с друзьями поровну разделили между собой некоторое количество яблок. Когда к ним подошел Петр, все решили разделить яблоки по-новому: поровну, включая Петра. После раздела Сергей заметил, что получил на шестую часть яблок меньше, чем вначале. Сколько друзей, вместе с Сергеем, собрались сначала?

Варианты ответа:
А: 2 Б: 3 В: 4 Г: 5 Д: 6

Решение:
Куда делась шестая часть яблок Сергея? Разумеется, перешла Петру. Петру же перешли шестые части долей всех остальных ребят. Значит, Пётр получил шестую часть всех яблок и вместе с Петром друзей было шестеро. Сначала же их собралось пятеро.

Ответ: Г: 5

Задача К21 олимпиады по математике Кенгуру 2010, решение и ответ

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие


На рисунке изображены девять областей, ограниченных дугами окружностей. В каждую область в каком-то порядке записано по одному числу от 1 до 9 (каждое число по одному разу) так, что сумма чисел внутри каждого круга равна 11. Какое число записано в область, отмеченную знаком вопроса?

Варианты ответа:
А: 5 Б: 6 В: 7 Г: 8 Д: 9

Решение:

Число 11 можно представить в виде трёх разных слагаемых от 1 до 9 девятью способами.

11=9+2=8+3=8+2+1=7+4=7+3+1=6+5=6+4+1=6+3+2=5+4+2

Девятка входит только в одну сумму, значит, уже можно определить положение девятки и двойки.



Сумма цифр, лежащих в двух нижних кругах, равна 22. Т.к. сумма всех цифр равна 45, то сумма крайней левой, центральной и крайней правой цифр равна 45-22=23. Значит, сумма левой и центральной цифр равна 23-9=14. 

Получается, на месте знака вопроса стоит или 6 или 8. Но единственная сумма из трёх слагаемых, куда входит восьмёрка – это 1+2+8, а место для двойки занято. Поэтому восьмёрка – крайне правая цифра, и на месте знака вопроса стоит цифра 6.

Ответ: Б: 6

Прибыли результаты олимпиады Кенгуру по Кировоградской области

Результаты конкурса Кенгуру 2010 по Кировоградской области и дипломы - у координатора области. С завтрашнего дня начинается рассылка по районам.