Решение задачи Ю15 олимпиады Кенгуру

Уровень: Юниор (9  и 10 класс)
Условие.

Круг радиуса 4 см разделен на четыре равные части дугами окружностей радиуса 2 см, как показано на рисунке. Периметр каждой из этих частей равен:

 Варианты ответа:
А:2п, Б:4п, В:6п, Г:8п, Д:12п,

Решение Длина окружности круга равна 8п см. Значит, в каждой части на жирный участок границы приходится 2п см. Т.к. тонкие границы образованы дугами окружности радиусом 2 см, то в каждой части общая длина тонких границ составит 4п см. Итого 6п см.


Ответ: В:6п

Решение задачи про неравенства (В16)

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Пусть вещественные числа а, b, с удовлетворяют системе неравенств:

Тогда НЕВОЗМОЖНЫМ является выполнение неравенства:

Варианты ответа: А: a<c<b, Б: c<a<b, В: a=c<b, Г: a<b<c, Д: -b<-c<-a

Решение Основание первого показательного неравенства больше единицы, значит, a<b. Во тором же основание меньше единицы и соотношение между показателями будет: c<b. Выходит, b - самое большое из чисел. Так что неравенство a<b<c выполняться не может.

Ответ: Г: a<b<c.

Решение числового ребуса (Ш1)

Уровень: Малыш 3-4, Школьник (3, 4, 5 и 6 классы),

Условие. Если
++6=+++,
то какая цифра скрыта под знаком треугольника?

Варианты ответа: А:2, Б:3, В:4, Г:5, Д:6,

Решение Убрав по два треугольника из левой и правой части уравнения получим, что сумма двух треугольников равна 6. Значит, каждый из них заменяет цифру 3.

Ответ: Б:3

Решение задачи про туристов (Ю17)

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Из пункта А в пункт В и из В в А одновременно вышли два туриста. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Сколько километров останется пройти второму туристу после того, как первый завершит переход?
Варианты ответа: А:6 км, Б:8 км, В:10 км, Г:12 км, Д:15 км,

Решение
Обозначим расстояние между пунктами как 2х. Тогда за то время, пока первый турист проходит x км, второй проходит 2х-24 км. А пока первый проходит 2х-15 км, второй преодолевает х км. Т.к. отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей, а двигались они равномерно, получим пропорцию:



Отсюда:
x²=(2x-15)(2x-24)
x²=4x²-78x+360
3x²-78x+360=0

x²-26x+120=0

По теореме Виета,
x₁=20
x₂=6

Но второй корень не подходит по смыслу задачи, т.к. расстояние между пунктами должно быть более 24 км. Значит, искомое расстояние 40 км.

Теперь, зная это, составим ещё одну пропорцию, чтобы ответить на вопрос задачи:
Пока первый турист проходит х=20 км, второй проходит 2х-24=16 км.
Пока первый турист проходит 2х=40 км, второй турист пройдёт 32 км.
Значит, ему останется пройти 40-32 = 8 (км)

решение Ответ: Б:8 км

Две недели до олимпиады Кенгуру-2011

Математическая олимпиада Кенгуру-2011 в Украине состоится через две недели, 17 марта. Рекомендуем вам мобилизоваться, освежить в памяти методы решения олимпиадных задач, свойства числа 2011, формулы и  разобрать решения задач олимпиады Кенгуру прошлых лет.

Решение задачи о симметрии

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. Сколько осей симметрии имеет эта фигура?

Варианты ответа: А:0, Б:1, В:2, Г:4, Д:бесконечно много,

Решение Чтобы части этой фигуры совпали, её можно перегнуть через вертикальную или через горизонтальную оси. Таким образом, у неё 2 оси симметрии.

Ответ: В:2

Решение задачи про котов

Уровень: Малыш 3-4, Малыш-2 (2, 3 и 4 классы)

Условие. Два года назад сумма лет, прожитых котами Томом и Тони, равнялась 15. Сейчас Тому 13 лет. Через сколько лет Тони будет 9?

Варианты ответа: А:1, Б:2, В:3, Г:4, Д:5,

Решение

За 2 года сумма возрастов котов увеличилась на 4. Значит, сейчас им вместе 19 лет. Т.к. Тому 13 лет, то Тони сейчас 6 лет. А 9 лет ему исполнится через 3 года.

Ответ: В:3

Решение задачи про букет (Ю5)

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)

Условие. На каждый день рождения Оксана получает в подарок столько цветов, сколько лет ей исполнилось. Эти цветы она засушивают и сохраняют в гербарии. Сейчас у Оксаны всего 120 цветов. Сколько ей лет?

Варианты ответа: А:10, Б:12, В:14, Г:15, Д:20,

Решение
Количество цветов представляет собой некоторое треугольное число. Значит, удвоенное их количество является произведением двух последовательных натуральных чисел, первое из которых равно возрасту Оксаны. 240 = 15х16, значит, ей 15 лет.


Ответ: Г:15

Решение задачи про возведение в степень (В6) олимпиады Кенгуру

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Чему равно значение выражения


Варианты ответа:
А:4096
Б:
В:64
Г:
Д:

Решение


Ответ: Г:

Решение задачи о трех натуральных числах (Ю4)

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Произведение трех натуральных чисел равно 140. Если наибольшее из них в 7 раз больше наименьшего, то сумма этих трех чисел равна:
Варианты ответа:
А:19, Б:21, В:28, Г:33, Д:43,

Решение
Число 140 раскладывается на множители так: 140=2*2*5*7. Т.к. при представлении в виде трёх множителей наибольший из них в 7 раз меньше наименьшего, то искомое представление таково: 140=2*5=14. Тогда сумма множителей равна 2+5+14=21
Ответ: Б:21.

Лето, ах, лето

Зимой нередко хочется вспомнить о лете. Поможет в этом подборка фотографий с семинара координаторов олимпиады Кенгуру в г.Яремче.

Великолепные виды в Карпатах

 Жили мы там в гостинице на берегу реки Прут

Иногда удавалось увидеть спортсменов, преодолевающих пороги на байдарках.

Радуга после грозы:

 В центре города Яремче на столбе свили гнездо и вывели птенцов аисты:

Уезжали мы в ночь на Ивана Купала, на противоположном берегу Прута местные жгли ватру.

С Новым Годом!!!

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым Годом!

2010 год для развития проекта «Приглашение в мир математики» оказался очень продуктивным. Общение с вами перешло из переписки по электронной почте в блоги. Там вы почти каждый день можете увидеть новый интересный математический факт, новую задачу и её решение.

В этом году вы начали участвовать в наших математических конкурсах. Прошли три интернет-олимпиады и запущена четвёртая. Кроме того, проводились математические маневры – первый в истории конкурс, в котором сочетаются принципы пошаговой стратегии и олимпиады по математике.

На 2011 год планы не менее смелые. Во-первых, мы будем продолжать готовиться к олимпиаде Кенгуру-2011 и к внешнему оцениванию по математике ЗНО-2011. Кроме того, скоро появятся новые логические флеш-игры. И, разумеется, будут продолжаться математические конкурсы и публикация интересного из мира математики.

Желаем вам в новом году счастья, здоровья и чтобы все задачи решались красиво и легко!

Решение задачи про паром (М34-12) олимпиады Кенгуру

Уровень: Малыш 3-4 (3 и 4 класс)

Условие. Кораблем можно перевезти за один раз или только 10 легковых автомобилей, или только 6 грузовиков. В среду корабль пересек реку пять раз и перевез 42 транспортных средства, будучи всегда полностью загруженным. Сколько легковых автомобилей перевез корабль в среду?

Варианты ответа: А:10, Б:12, В:20, Г:22, Д:30

Решение

Будем решать задачу по вопросам.
1. Сколько грузовиков можно перевести за 5 рейсов?
6х5=30

2. На сколько больше тридцати было перевезено машин в среду?
42-30=12

3.На сколько больше переводится за один рейс легковых машин, чем грузовиков?
10-6=4

4.Сколько было рейсов с легковыми машинами?
12:4=3

5. Сколько было перевезено легковых машин?
3х10=30

Ответ: Д:30.

Открыт блог по олимпиаде Кенгуру-2011

По адресу http://kenguru2011.blogspot.com/ открыт блог, посвящённый вопросам проведения Международной математической олимпиады Кенгуру-2011.

Согласно правилам проведения олимпиады, конкурс Кенгуру-2011 в Украине будет состоится в четверг, 17 марта 2011 года. Для участия в нём необходимо зарегистрироваться не позднее субботы, 12 февраля 2011.

Сумма благотворительного пожертвования участника не изменилась и составляет 10 гривен. Эти средства полностью используются для покрытия расходов на организацию и проведение конкурса.

Решение задачи про число 777 (Ш13)

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие. На уроке математики Тарас записал некоторое число. Затем он разделил его на 7 и прибавил 7, а полученный результат умножил на 7. В результате получил 777. Какое число Тарас записал в самом начале?
Варианты ответа: А:7, Б:111, В:567, Г:722, Д:728

Решение
Решаем задачу с конца. Перед умножением было число 777/7=111, перед прибавлением семёрки - число 111-7=104 и перед делением на 7: 104/7=728 Ответ: Д:728

Решение задачи про сумму квадратов (В3) математической олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Сколько существует пар (х,у) чисел, удовлетворяющих уравнению (х-3)² + (у-2)²=0?
Варианты ответа: А:1, Б:2, В:6, Г:32, Д:таких пар нет
Решение
Сумма двух квадратов равна нулю тогда, и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом x=3, y=2 - единственное решение.
Ответ: А:1

Решение задачи про наибольшее число (К18)

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)
Условие. Если, а - 1 = b + 2 = c - 3 = d + 4 = е - 5 то наибольшим среди чисел а, b, с, d, e есть число
Варианты ответа:
А:a, Б:b, В:c, Г:d, Д:e,

РешениеЧем число большое, тем больше от него нужно отнять, чтобы сравнять с остальными. Так что наибольшим является e

Ответ: Д:e

Решение задачи про дни рождения

Уровень: Кадет, Малыш 3-4 (3, 4, 7 и 8 классы),
Условие. Виталик сложил числа дней и числа месяцев дат рождения всех своих друзей и получил 35. Даты рождения его друзей различны. Какое наибольшее возможное количество друзей у Виталика?
Варианты ответа: А:7, Б:8, В:9, Г:10, Д:12,

Решение Понятно, что наибольшее число друзей будет, если суммы чисел в их датах рождения минимальны. Сумма 2 будет у родившегося 1 января, Сумма 3 - у родившихся 1 февраля и 2 января, сумма 4 - у 3 января, 2 февраля и 1 марта. Для этих 6 человек сумма чисел дней и месяцев рождения составит 2+3+3+4+4+4=20. Добавим ещё трёх человек с суммой 5: 4 января, 3 февраля и 2 марта. Итого 9 друзей.

Ответ: В:9

Решение задачи про степени (Ю23)

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Для скольких натуральных чисел n от 1 до 100 включительно число nⁿ является квадратом натурального числа?

Варианты ответа: А:5, Б:15, В:50, Г:54, Д:55,

Решение Во-первых, квадратом nⁿ будет для чётного n. Таких чисел от 1 до 100 будет 50. Во-вторых, для нечётного n, являющегося квадратом. Таких n будет 5: 1, 9, 25, 49, 81. Итого 55 вариантов.

Ответ: Д:55

Аналогичная, но более сложная задача сейчас сдерживает наступление на Хребет натуральных чисел в игре Математические маневры.

Решение задачи про квадрат (Ш19) олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие.

Вычислите площадь затемненной части квадрата


Варианты ответа: А:8 см², Б:12 см², В:18 см², Г:24 см², Д:36 см²

Решение
Разобьём этот квадрат диагональю, являющейся осью симметрии затемнённой фигуры. Тогда фигура разобьётся на два треугольника с основаниями 2 см, и высотами 6 см. Площадь одного такого треугольника равна 6 см², а всей фигуры 12 см²

Ответ: Б:12 см².