Решение задачи К25 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Кадет (7  и 8 класс)

Условие

На доске выписаны натуральные числа от 1 до 10. Ваня вытирает любые два из этих чисел, а вместо них записывает их сумму, уменьшенную на единицу. Эту процедуру мальчик повторяет, пока на доске не останется только одно число. Какое?

Варианты ответа:

А: меньшее, чем 11 Б: 11 В: 46 Г: большее, чем 46 Д: другой ответ

Решение:

C каждой такой операцией сумма всех чисел на доске уменьшается на единицу. Вначале сумма всех чисел на доске равна 55. После девяти сложений она составит 46.

Ответ: В: 46

Награждение победителей в школе№17, г.Кировоград

Благодарим за фотографии Сороку Светлану Николаевну!

Награждение победителей в лицее №25, Кировоград

Решение задачи Ш24 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)

Условие

Иван, написав двузначное число, приписывает к нему справа сумму его цифр. Например, 12 —> 123, или 29 —> 2911. Затем он повторяет эту операцию для двух последних цифр полученного числа и т. д. Например, 12 —> 123 —> 1235 —> 12358 —> 1235813 —> и т.д. Если Иван начнет с числа 31, то какой будет 2010-я цифра?
Варианты ответа:

А: 1 Б: 4 В: 5 Г: 8 Д: 9

Решение:

Сделаем несколько шагов

31->314->3145->31459->3145914->31459145->314591459

Уже можно видеть, что в получающемся числе будет повторяться группа цифр (1459). Т.к. период начинается после первой цифры, а число 2009=2010-1 даёт остаток 1 при делении на 4, то 2010 цифрой будет первая цифра периода, т.е. единица.
Ответ: А: 1
P.S. Интересным развитием этой задачи было бы нахождения такого двузначного числа, которое дало бы при выполнении указанной операции период наибольшей длины.

Решение задачи Ш22 олимпиады Кенгуру 2010

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)

Условие
Сергей с друзьями поровну разделили между собой некоторое количество яблок. Когда к ним подошел Петр, все решили разделить яблоки по-новому: поровну, включая Петра. После раздела Сергей заметил, что получил на шестую часть яблок меньше, чем вначале. Сколько друзей, вместе с Сергеем, собрались сначала?

Варианты ответа:
А: 2 Б: 3 В: 4 Г: 5 Д: 6

Решение:
Куда делась шестая часть яблок Сергея? Разумеется, перешла Петру. Петру же перешли шестые части долей всех остальных ребят. Значит, Пётр получил шестую часть всех яблок и вместе с Петром друзей было шестеро. Сначала же их собралось пятеро.

Ответ: Г: 5

Задача К21 олимпиады по математике Кенгуру 2010, решение и ответ

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие


На рисунке изображены девять областей, ограниченных дугами окружностей. В каждую область в каком-то порядке записано по одному числу от 1 до 9 (каждое число по одному разу) так, что сумма чисел внутри каждого круга равна 11. Какое число записано в область, отмеченную знаком вопроса?

Варианты ответа:
А: 5 Б: 6 В: 7 Г: 8 Д: 9

Решение:

Число 11 можно представить в виде трёх разных слагаемых от 1 до 9 девятью способами.

11=9+2=8+3=8+2+1=7+4=7+3+1=6+5=6+4+1=6+3+2=5+4+2

Девятка входит только в одну сумму, значит, уже можно определить положение девятки и двойки.



Сумма цифр, лежащих в двух нижних кругах, равна 22. Т.к. сумма всех цифр равна 45, то сумма крайней левой, центральной и крайней правой цифр равна 45-22=23. Значит, сумма левой и центральной цифр равна 23-9=14. 

Получается, на месте знака вопроса стоит или 6 или 8. Но единственная сумма из трёх слагаемых, куда входит восьмёрка – это 1+2+8, а место для двойки занято. Поэтому восьмёрка – крайне правая цифра, и на месте знака вопроса стоит цифра 6.

Ответ: Б: 6

Прибыли результаты олимпиады Кенгуру по Кировоградской области

Результаты конкурса Кенгуру 2010 по Кировоградской области и дипломы - у координатора области. С завтрашнего дня начинается рассылка по районам.

Задача Ю20 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Юниор, Школьник (5, 6, 9 и 10 класс)

Условие
У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 6 или 8 ног, - всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". Какого цвета осьминог, сказавший правду?

Варианты ответа:

А: красный Б: синий В: зеленый Г: желтый Д: ни один осьминог не сказал правду

Решение

Поскольку все реплики были различными, солгали 3 или 4 осьминога. Если бы соврали четверо, то у них должно было быть 7х4=28 ног. Но в таком случае фраза "Вместе у нас 28 ног" была бы правдой. Противоречие.
Значит, соврали трое, а один сказал правду. Тогда у четверых осьминогов могло быть или 3х7+6=27 или 3х7+8=29 ног. Поэтому правдой была фраза зелёного "Вместе у нас 27 ног"

Ответ: В: зеленый

Задача В19 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие



На рисунке изображены графики функций  и ..
Значение  равно:

Варианты ответа:

А: Б: В: Г: Д:

Решение


Проведём отрезки, как показано на рисунке:



Искомый интеграл равен площади двух круговых сегментов. А их площадь, в свою очередь, равна разности между площадью полукруга радиусом 1 и квадрата со стороной 1. Так что  

Ответ: Г:

Результаты олимпиады Кенгуру - уже скоро!

Сегодня координатор конкурса в Украине Андрей Добосевич сообщил нам, что дипломы и таблицы результатов отправлены в регионы. Так что на днях они будут у региональных координаторов.

Задача Ю18 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие



На диаграмме изображена зависимость между расстоянием и временем, за которое это расстояние пробежал каждый из пяти школьников. Кто из них был самым быстрым?

Варианты ответа:
А: Андрей Б: Василий В: Марийка Г: Николай Д: Елена

Решение


Т.к. скорость – это отношение пройденного расстояния к затраченному времени, соединим результаты каждого из бегунов с началом координат. Самым быстрым был тот, у кого соответствующий отрезок .наклонён под наибольшим углом к оси времени. Значит, это был Андрей.


Ответ: А: Андрей

Задача К17 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Кадет  (7 и 8 класс)

Условие



На рисунке изображен прямоугольник ABCD и квадрат PQRS. Площадь затемнённой фигуры равна половине площади прямоугольника ABCD. Тогда длина отрезка РХ равна:

Варианты ответа:
А: 1 Б: 1,5 В:2 Г: 2,5 Д:4

Решение

Площадь прямоугольника ABCD равна 60. Значит площадь прямоугольника SXYR должна равняться 30. Поскольку сторона SR = 6, то XS=5 и PX = PS-XS=1.
Ответ: А: 1

Задача В2 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник, Юниор  (9, 10 и 11 класс)
Условие

1	2	3	4	5	б	7	8	9	10	2010
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	*

Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:
Варианты ответа:

А: 1010 Б: 1020 В: 1910 Г: 1990 Д: 2000

Решение
Можно заметить, что числа в десяти нижних ячейках на 10 больше соответствующих чисел в верхних ячейках. Значит сумма чисел в десяти нижних ячейках на 100 больше суммы чисел в десяти соответствующих чисел в верхних ячейках. Чтобы суммы по строкам были равными, вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 2010, т.е. 2010-100=1910
Ответ: В: 1910


Уровень: Школьник  (5 и 6 класс)
Условие

1	2	3	4	5	б	7	8	9	10	199
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	*

Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:

Варианты ответа:
А: 99 Б: 100 В: 209 Г: 289 Д: 299

Решение

Аналогичными рассуждениями находим, что вместо звёздочки должно стоять число, на 100 меньшее, чем 199, т.е. 99
Ответ: А: 99

Уровень: Малыш 3-4 (3 и 4 класс)

Условие

1	2	3	4	5	6	70
11	12	13	14	15	16	*

Если суммы чисел в обеих строках таблицы одинаковы, то число, обозначенное звёздочкой (*), равно:

Варианты ответа:

А: 7 Б: 10 В: 17 Г: 59 Д: 70

Решение
Здесь чтобы суммы сравнялись, нужно вместо звёздочки поставить число на 60 меньшее семидесяти, т.е. 10
Ответ: Б: 10


Уровень: Малыш 2 (2 класс)
Условие

1	2	3	40
11	12	13	*

Если суммы чисел в обеих строках одинаковы, то какое число стоит сместо звёздочки?

Варианты ответа:

А: 4 Б: 10 В: 13 Г: 22 Д: 43

Решение
Аналогично предыдущим задачам, там должно стоять 40-30=10
Ответ: Б: 10

Задача М(3-4)15 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Малыш 3-4, Малыш 2  (2, 3 и 4 класс)

Условие

Дети решили измерить длину площадки шагами. Олег прошел вдоль площадки, сделав 15 шагов, Богдан - 17, Денис - 12, а Игорь - 14 шагов. Чьи шаги были самыми длинными?
Варианты ответа:

А: Олега Б: Богдана В: Дениса Г: Игоря Д: Невозможно определить

Решение

Чем шаги длиннее, тем меньше их нужно, чтобы пройти через площадку. Поэтому шаги Дениса были самыми длинными.

Ответ: В: Дениса