Математическая олимпиада Кенгуру 2010: Задача В19 олимпиады по математике Кенгуру 2010

воскресенье, 16 мая 2010 г.

Задача В19 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Уровень: Выпускник (11 класс)

Условие

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ и $g(x)=1-\sqrt{2x-x^2}$ ..
Значение $\int\limits_{0}^{1}\left( f(x)-g(x)\right) \text{d}x$ равно:

Варианты ответа:

А: $\frac{4}{9}$ Б: $\frac{\pi-1}{2}$ В: $\pi-1$ Г: $\frac{\pi-2}{2}$ Д: $0,8\pi$

Решение

Проведём отрезки, как показано на рисунке:

Искомый интеграл равен площади двух круговых сегментов. А их площадь, в свою очередь, равна разности между площадью полукруга радиусом 1 и квадрата со стороной 1. Так что $\int\limits_{0}^{1}\left( f(x)-g(x)\right) \text{d}x=\frac{\pi}{2}-1=\frac{\pi-2}{2}$

Ответ: Г: $\frac{\pi-2}{2}$

Математическая олимпиада Кенгуру 2010

Полезные игры и приложения

воскресенье, 16 мая 2010 г.

Задача В19 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Полезные игры и приложения

воскресенье, 16 мая 2010 г.

Задача В19 олимпиады по математике Кенгуру 2010

Комментариев нет:

Отправить комментарий

воскресенье, 16 мая 2010 г.